Якщо в рівнянні ах=2а х - змінна, а буква а позначає якесь число, то кажуть, що це рівняння з параметром а.
Щоб розв'язати таке рівняння, треба розглянути такі випадки:
а) при а = 0 отримуємо рівняння 0х = 0, коренем якого є будь-яке число
б) при а ≠ 0 ділимо обидві частини рівняння на а (яке не дорівнює нулю ) і одержуємо х = 2
У загальному випадку:
ах = b
Щоб розв'язати таке рівняння, треба розглянути такі випадки:
а) При а=0 отримуємо рівняння 0х=b
Маємо два випадки:
1) при b=0 коренем буде будь-яке число;
2) при b≠0 рівняння коренів не має.
б) При a≠0 ділимо обидві частини рівняння на a (яке не дорівнює нулю) і отримуємо x = b / a.
Корисно пам'ятати
Рівняння з параметрами можна розв'язувати так само, як звичайні рівняння, але тільки до тих пір, поки кожне потрібне перетворення можна виконати однозначно. Якщо ж якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв'язання потрібно розбити на декілька випадків.
Перегляньте відео
Розглянемо ще приклади розв'язування лінійних рівнянь з параметрами.
Вправа 1. При якому значенні а рівняння ах = 35:
1) має корінь, що дорівнює 5;
2) коренів не має;
3) має безліч коренів.
Розв’язання:
корінь х = 5, отже а⋅5 = 35,
а = 35:5,
а = 7;
коренів немає, отже а = 0;
цей випадок не можливий (такого а для даного рівняння не існує)
Вправа 2. Дано рівняння (а - 2)х = 6. знайдіть значення а, при якому
рівняння не має коренів;
має корінь, що дорівнює 1
коренем є число, що є і коренем рівняння 4х - 7 = 5.
Розв’язання:
рівняння не має коренів, якщо коефіцієнт при х дорівнює нулю, а вільний коефіцієнт не дорівнює нулю ( в даому рівнянні він рівний 6)
а - 2 = 0,
а = 2
х = 1, отже (а-2)⋅1 = 6
а - 2 = 6
а = 8.
знайдемо корінь рівняння 4х - 7 = 5 :
4х = 5 + 7
4х = 12
х = 3
підставляємо у рівняння з параметром (а-2)⋅х = 6
(а - 2)⋅3 = 6
а - 2 = 2
а = 4
Вправа 3. При якому значенні а рівняння:
3ах = 42 має корінь, що дорівнює числу 7;
Розв’язання:
х = 7, 3а⋅7 =42
21а = 42
а = 42:21
а = 2
(5 + а)х = 7 - 4а має корінь, що дорівнює числу 3.
Розв’язання: х = 3 , отже (5 + а)⋅3 = 7 - 4а
15 + 3а = 7 - 4а
3а + 4а = -15 + 7
7а = -8
а = -8:7
а = -117.
(4а - 1)х = 1 + 16а має корінь, що дорівнює числу 4;
Розв’язання: х = 4, тоді (4а - 1)⋅4 = 1 + 16а,
16а - 4 = 1 + 16а,
16а - 16а = 1 + 4,
0а = 5 - такого а для даного рівняння не існує
ах = 4 не має коренів;
Розв’язання: рівняння не має коренів, якщо а = 0.
ах=4 має від’ємний корінь;
Розв’язання: якщо х＜0, то і а＜0.
ах=4 має корінь , більший за 1, але менший від 2;
Розв’язання: якщо 1＜х＜2, то а=4:х , тоді 2＜а＜4.
(а - 2)х + 2 = а має коренем будь-яке число.
Розв’язання: (а - 2)х + 2 = а
(а - 2)х = а - 2 має коренем будь-яке число при
а - 2 = 0, а = 2.
Вправа 4. (№ 1154). При якому значенні а рівняння 5ах = 14 - х має корінь, що дорівнює 4
Розв’язання: х = 4, отже 5а⋅4 = 14 - 4
20а = 10
а = 10:20
а = 0,5
Вправа 5. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом: а) ах= - 15 ; б) (а - 2)х = 12.
Розв’язання:
а) так як рівняння має корені, то а ≠ 0 (можна поділити на а )
х = -15:а . Щоб частка -15:а була цілим числом, а має бути дільником числа -15, тобто а = {-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15}.
б) так як рівняння має корені, то а - 2 ≠ 0 (можна поділити на а -2)
х =12:(а - 2) . Щоб частка 12 :(а - 2) була цілим числом, (а -2) має бути дільником числа 12, тобто
(а - 2) = {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12},
а = {-10, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14}.
Вправа 6. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є натуральним числом: а) ах = 8; б) (а + 3)х = 20.
Розв’язання:
а) так як рівняння має корені, то а ≠ 0 (можна поділити на а )
х = 8:а . Щоб частка 8:а була натуральним числом, а має бути додатним дільником числа 8, тобто а = {1, 2, 4, 8}.
б) так як рівняння має корені, то а + 3 ≠ 0 (можна поділити на а + 3 )
х =20:(а + 3) . Щоб частка 20 :(а + 3) була натуральним числом, (а + 3) має бути додатним дільником числа 20, тобто
(а + 3) = {-20, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 20},
а = {-23, -8, -7, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 17}.
Вправа 7. Розв’яжіть рівняння 3ах + 2а = ах + 6а, де х - змінна.
Розв'язання: 3ах + 2а = ах + 6а,
3ах - ах = 6а - 2а,
2ах = 4а,
І) якщо а = 0, то 0х = 0 , х - будь-яке число;
ІІ) якщо а ≠ 0, то х = 4а:2а, х = 2.
Відповідь: якщо а = 0, то х - будь-яке число;
якщо а ≠ 0, то х = 2.
Завдання для самостійної роботи
1. При якому значенні а рівняння ах = 24:
1) має корінь, що дорівнює 4;
2) коренів не має;
3) має безліч коренів.
2. Дано рівняння (а + 3)х = 10. знайдіть значення а, при якому
рівняння не має коренів;
має корінь, що дорівнює 2;
коренем є число, що є і коренем рівняння 3х - 9 = 6.
3. При якому значенні а рівняння:
4ах = 56 має корінь, що дорівнює числу 4;
(а - 2)х = 9 + 3а має корінь, що дорівнює числу 3.
(2а - 3)х = -6а - 11 має корінь, що дорівнює числу 4;
ах = 5 не має коренів;
ах=5 має додатний корінь;
ах=6 має корінь , більший за 2, але менший від 3;
(а - 4)х + 4 = - а має коренем будь-яке число.
4. При якому значенні а рівняння (а - 7)х = 5 + 3х має корінь, що дорівнює 1.
5. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом:
а) ах = 9 ; б) (а - 1)х = -7.
6. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є натуральним числом:
а) ах = -8; б) (а + 2)х = 10.
7. Розв’яжіть рівняння із змінною х :
а) 5ах - а = ах + а.
б) 2а - 3ах = 2ах + 12а.
Немає коментарів:
Дописати коментар