Узагальнення вивченого матеріалу з геометрії за 7 клас

Любі мої учні.  
Давайте повторимо матеріал вивчений на уроках геометрії у сьомому класі.
Розв'язуйте разом зі мною. Якщо виникнуть запитання звертайтеся в приватні повідомлення. Я впевнена, що завдання Вам посильні 😉

Спочатку придаємо деякі факти з теорії.

і для прямокутних трикутників:

Властивості кутів трикутника

1. Сума кутів трикутника дорівнює 180⁰

2. У рівностонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60⁰

3. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90⁰

4. Якщо в прямокутному трикутнику катет удвічі менший за гіпотенузу, то він лежить проти 30⁰.

5. Сума трьох зовнішніх кутів, узятих при кожній вершині дорівнює 360⁰

Тепер розв'яжемо задачі.

Задача 1. 

Знайдіть  ∠ 2, якщо  ∠ 1 = 50°.

Розв'язання: так як кути суміжні, то їхня сума дорівнює 180⁰. Отже  ∠ 2 = 180⁰ - 50⁰ = 130⁰.

Задача 2. При перетині двох прямих утворено кут 70^о. Знайдіть решту кутів.

Розв'язання: 

при перетині двох прямих утворюються вертикальні кути (рівні) і суміжні (сума =180⁰)

180⁰ - 70⁰ =110⁰

Відповідь: 70⁰, 110⁰, 110⁰ .

Задача 3. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 20^о. Знайдіть кут при основі цього трикутника.

Розв'язання:

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні ∠А = ∠В = (180⁰ - 20⁰) : 2 = 80⁰.

Відповідь: 80⁰.

Задача 4. Знайдіть х, якщо на малюнку а||b.

Розв'язання: Проведемо через вершину кута х пряму с॥ а ॥ в. Вона ділить кут х на два кути ∠1 і ∠2. Причому ∠1 = 15⁰ і ∠2 = 42⁰ за властивістю відповідних кутів при паралельних прямих.

Отже х = 15⁰ + 42⁰ = 57⁰

Відповідь: 57⁰.

Задача 5. Дано два суміжних кута α і β . Знайдіть кут  α  , якщо кут β  менший від нього на 20^о.

Розв'язання: 

 β = α - 20⁰  - за умовою задачі.

α + β = 180⁰  - за властивістю суміжних кутів.

α + α - 20⁰ = 180⁰

2α = 200⁰

α = 100⁰

Відповідь: α = 100⁰

Задача 6. Знайдіть більший кут трикутника АВС, якщо LА : LВ : LС = 2 : 3 : 5.

                                    

Розв'язання: нехай LА = 2х,  LВ = 3х, LС = 5х

                                   2х+3х+5х=180

                                   10х = 180

                                    х = 18

Найбільший кут ∠С = 5х = 18・5 = 90⁰

Відповідь: 90⁰

Задача 7. Знайдіть ∠ АОВ, якщо ∠ ОАВ = 30^о.

Розв'язання: трикутник АОВ - рівнобедрений (ОА=ОВ=R), 
тому ∠ОАВ = ∠ОВА = 30⁰, тоді ∠АОВ = 180⁰ ー 2・30⁰ = 120⁰.

Відповідь: ∠АОВ = 120⁰.

Задача 8. BN – дотична, ВО – радіус, ∠ ОАВ=35^о.  Знайдіть ∠ ABN.

Розв'язання: як кути при основі рівнобедреного трикутника  ∠ ОАВ= ∠ ОВА = 35^о 

∠ ОВN = 90⁰ - як кут між дотичною до кола  і радіусом проведеним в точку дотику.
Отже ∠ABN = 90⁰ ー35⁰ = 55⁰

Відповідь: ∠ABN = 55⁰

Задача 9. Коло вписано в трикутник АВС, ∠АОС=140^о. Знайдіть кут АВС.

Розв'язання: так як О - точка перетину бісектрис, 
то ∠ОАС = 0,5∠ВАС, ∠ОСА = 0,5∠ВСА.
З трикутника 🛆ОАС: ∠ОАС + ∠ОСА = 180⁰ー140⁰ = 40⁰.
∠ВАС + ∠ВСА = 2・ 40⁰.= 80⁰
∠АВС = 180⁰ー (∠ВАС + ∠ВСА) = 180⁰ ー 80⁰ = 100⁰.

Відповідь: 100⁰.

Задача 10. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, ділить прямий кут у відношенні 1 : 4. Знайдіть гострі кути трикутника 

Розв'язання:

Нехай ∠МСВ = 1х, ∠АСМ = 4х

х +4х = 90⁰

5х = 90⁰

х = 18⁰ - ∠МСВ,

∠АСМ = 4х = 4・18⁰ = 72⁰

Медіана СМ=1/2 АВ= АМ =МВ. Трикутники 🛆АМС і 🛆ВМС - рівнобедрені, 

тому ∠В = ∠МСВ = 1х = 18⁰, ∠А = ∠АСМ = 4х = 72⁰

Відповідь: 18⁰, 72⁰.